考研数学(数学一)模拟试卷587附答案解析

考研数学(数学一)模拟试卷587

选择题

1.已知当x→0时,f(x)=arcsinx—arctanax与g(x)=bx[x-ln(1+x)]是等价无穷小,则( )(A)

A. a=b=1。

B. a=1,b=2。

C. a=2,b=1。

D. a=b≠l。

解析:根据等价无穷小的定义,

那么1-a=0,

2.设函数f(x)在[0,1]上连续,且其中bn=sinnzrxdx,n=1,2,3,...,则(C)

A. 0。

B. 1。

C. -1。

D. 解析:因为,所以可得,又因为函数连续,则

题目中把f(x)展开为正弦级数,可知f(x)为奇函数,可将函数f(x)作奇延拓,得到T=2,

3.设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=(B)

A. 单调递增的奇函数。

B. 单调递减的奇函数。

C. 单调递增的偶函数。

D. 单调递减的偶函数。

解析:令x-u=t,则

因为f(x)是奇函数,

则有F(x)=-f(-x),F(x)为奇函数。

由积分中值定理可得,ξ介于0到x之间,

4.已知函数f(x,y)满足(D)

A. f(x,y)在(0,0)点可微。

B. f’x(0,0)=-2。

C. f’y(0,0)=1。

D. f’x(0,0)和f’y(0,0)不一定都存在。

解析:根据二元函数可微的定义,

其中,那么有

通过观察f(x,y)在(0,0)点可微

5.设A是5×4矩阵,A=(C)

A. B. C. D. 解析:由An1=0知 (1)

由An2=0知 (2)

因为n-r(A)=2,所以r(A)=2,可排除选项(D);

由(2)知线性相关,可排除选项(B);

把(2)代入(1)得,即线性相关,可排除选项(A);

如果线性相关,则r与r(A)=2相矛盾,因此

6.设矩阵A=,B=,P1,P2,P3(B)

A. P1P3A。

B. P2P3A。

C. AP3P2

D. AP1P3

解析:矩阵A作两次行变换可得到矩阵B,而AP3P2和AP1P3是对矩阵A作列变换,故应排除(C)、(D)两项。把矩阵A的第1行的2倍加至第3行,再将1,2两行互换得到矩阵B;或者把矩阵A的1,2两行互换后,再把第2行的2倍加至第3行也可得到矩阵B,而P2P3A正是后者。故选(B)。

7.设(X,Y)服从D={(x,y)|x2+y2≤a2}上的均匀分布,则( )(A)

A. X与Y不相关,也不独立。

B. X与Y相互独立。

C. X与Y相关。

D. X与Y均服从均匀分布U(一a,a)。

解析:因为f(x,y)=由对称性E(X)=E(Y)=0,E(XY)=0。于是 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,从而PXY=0,即X与Y不相关。

根据边缘概率密度公式

同理

8.设总体X服从正态分布N(0,σ2),X,S2分别是容量为n的样本的均值和方差,则可以作出服从自由度为n-1的t分布的随机变量( )(A)

A. B. C. D. 解析:由题设可知,

又已知,S2相互独立,则

填空题

9.函数y=f(x)由参数方程所确定,则

1

解析:根据已知可得

当x=0可得t=0,则f’(0)=1,故极限

10.

0

解析:由积分的性质

因为x3COS2x是奇函数,积分为零,上式可进一步化为

对于积分由于为奇函数,则为偶函数,则是奇函数,所以

那么

11.以C1e-x+C2ex+C3为通解的常系数齐次线性微分方程为_________。

[*]

解析:C1e-x+C2ex+C3为齐次线性微分方程的通解,所以可以得到特征根为r=-1,r=1,r=0,特征方程为(r+1)(r-1)r=0,则微分方程为

12.曲面片z2=X2+y2(0≤z≤1)的形心坐标为________。

[*]

解析:形心公式其中∑表示曲面片z2=x2+y2(0≤z≤1)。由于∑关于yOz平面是对称的,而被积函数x为奇函数,所以同理∑关于xOz平面是对称的,被积函数y为奇函数,所以

最后

所以曲面片z2=x2+y2(0≤z≤1)的形心坐标为

13.设矩阵A=

-2

解析:由AB=AC可得A(B-C)=0,则齐次线性方程组Ax=0有非零解,所以r(A)≤2;另一方面,因为A*≠0,所以r(A)≥2,从而r(A)=2。由|A|=0解得a=1或-2,a=1时,r(A)=1,舍去,所以a=-2。

14.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则E(X2e-x)_________。

[*]

解析:由期望的定义得

解答题

15.求极限

根据等价无穷小替换公式,

[*]

解析:

16.设,其中f(u)具有二阶连续导数,f(0)==0,且

z=[*],其中f(u)具有二阶连续导数,

[*]

代入方程

[*]

有[*]即[*]求解该二阶微分方程可得,[*]将[*]代入上式,解得[*]故

[*]

解析:先求出z对x和y的一阶及二阶偏导数,代入已知等式,化为二阶微分方程,结合初值问题解微分方程。

17.证明不等式3x<tanx+2sinx,

设f(x)=tanx+2sinx-3x,x [*]

则[*]

由于当x∈[*]时,sinx>0,sec3x-1>0,则f”(x)>0,函数f’(x)=sec2x+2cosx-3为增函数,且 f’(0)=0,因此x∈[*]时,f’(x)=sec2x+2cosx一3>0,进一步得函数f(x)为增函数,由于f(0)=0,因此f(x)=tanx+2sinx-3x>f(0)=0,[*] 即不等式3x<tanx+2sinx,[*]成立。

解析:通过将不等式两边函数相减构造辅助函数,根据辅助函数的单调性证明。辅助函数求一次导如果无法确定单调性,则可以通过二次导结合端点值先判断一阶导的正负。

18.计算曲线积分

[*]

可知[*]因此积分[*]与路径无关。故选取路径L’=4x2+y2=16,方向由点(-2,0)到点(2,0),则

[*]

将曲线L’改写为参数方程为x=2cost,y=4sint,t:π→0,则

[*]

[*]

解析:设D是平面上的单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则当恒成立时,曲线积分

19.求幂级数

[*]故该级数的收敛半径为r=1,收敛区间为(-1,1),x=±1 时 ,该级数变为常数项级数

[*]

显然[*]发散,[*]条件收敛,故[*]发散,则收敛域为(-1,1)。

[*]

记S1(x)=[*]则

[*]

记S2(x)=[*]则

[*]

逐项求导可得,

[*]

故 [*]

令x=0,可得C=0,故S2(x)=[*]x≠0;x=0时,S2(0)=0。故

[*]

故原级数的和函数为

[*]

解析:如果则收敛半径为

20.设A=(aij)mxn,y=(y1,y2,…,yn)T,b=(b1,b2,…,bm)T,x=(x1,x2,…,xm)T,证明方程组Ay=有解的充分必要条件是方程组

必要性:设方程组Ay=b有解,则对满足ATx=0的向量x0,bTx0=yTATx0=yT×0=0从而[*],可见方程组[*]无解。

充分性:设方程组[*]无解,则线性方程组的增广矩阵的秩

[*]

另一方面,

[*]

所以有[*]。又由于[*]≥r(A),可知r(A)=[*],从而方程组Ay=b有解。

解析:

21.设实二次型f=xTAx经过正交变换化为标准形2y12-y22-y32,又设满足=

由于f=xTAx经过正交变换化为标准形2y12-y22-y32可知,A的特征值为2,-l,-1。又由于A*[*],等式两边同时左乘A可得[*],其中|A|=2,可知[*]即为矩阵A属于特征值2的特征向量。由于A为实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量正交,可知特征值-1的特征向量满足x1+x2+x3=0,解得基础解系为β1=(1,-1,0),β2=(1,0,-1),β1β2为属于特征值-1的两个线性无关的特征向量。令

[*]

则有

[*]

所以

[*]

解析:

22.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=

(Ⅰ)根据分布函数的定义

[*]

(Ⅱ) [*]

因为f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X与Y不独立。

解析:

23.设总体X的密度函数为-∞<x<+∞,其中θ(θ>0)是未知参数,(X1,X2…,Xn)为来自总体X的一个简单随机样本。

(Ⅰ)利用原点矩求θ的矩估计量

(Ⅱ)求θ的极大似然估计量,并问

(Ⅰ)根据已知条件

[*]

则[*],所以θ的矩估计量为

[*]

(Ⅱ)设样本X1,X2,…,Xn的取值为x1,x2,…,xn,则对应的似然函数为

[*]

取对数得

[*]

关于θ求导得

[*]

令[*]得θ的极大似然估计量[*],因为

[*]

所以[*]是θ的无偏估计。

解析:

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