全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷42附答案解析

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷42

单选题

1.比较I1(C)

A. I1<I2

B. I1=I2

C. I1≤I2

D. 无法比较

解析:由积分区域D:1≤x≤2,0≤y≤1,可得1≤x+y≤3,则x+y≤(x+y)2.由二重积分的单调性得,

2.设f(x,y)是连续函数,则累次积分(A)

A. B. C. D. 解析:由外层积分可知0≤y≤1,由内层积分可知y-l≤x≤,即积分区域在直线y-1=x与圆x2+y2=1(x>0,y>0)之间,积分区域如下图所示

3.Ω为半球x2+y2+z2≤1,z≥0,则三重积分(D)

A. B. C. D. 解析:由球面坐标下三重积分的计算公式可得由Ω为半球x2+y2+z2≤1,z≥0可知,0≤r≤l,0≤φ≤π/2,0≤Θ≤2π.于是

4.L是抛物线y=x2-1从A(-1,0)到B(1,0)的一段,则曲线积分(B)

A. ﹣4/3

B. 4/3

C. -1

D. 1

解析:由L:y=x2-1,-1≤x≤1,得dy=2xdx,则

5.设Ω是平面x+y+z=1与三个坐标面围成的四面体,则(C)

A. 1/8

B. 1/3

C. 1/24

D. 1

解析:区域Ω(如下图所示)为

填空题

6.设α={11,-2,7),β=(3,2,0},则α-3β=____________

{2,-8,7}

解析:α-3β={11,-2,7}-3{3,2,0}={2,一8,7}.

7.Oxy平面上的抛物线y2=4x绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是____________

y2+z2=4x

解析:Oxy平面上的抛物线y2=4x的对称轴为x轴,因此所求旋转曲面方程为

8.过点P(-1,3,4)并且平行于Oyz平面的平面方程为____________

x+1=0

解析:因为所求平面平行于(Oyz平面,故可设其方程为Ax+D=0,又因平面过点P(-1,3,4),将点P代入平面方程得D=A,即所求平面方程为x+1=0.

9.若z=,则

[*]

解析:因为z=,则,即

10.设函数u=x2+y2-exy,则全微分du=____________

(2x-yexy)dx+(2y-xexy)dy

解析:∵=2x-yexy

计算题

11.求过点(-1,1,-2)并且与平面2x-y+z-3=0和平面x-y=0都平行的直线方程

两平面的法向量分别为n1=(2,-1,1),n2=(1,-1,0),则所求直线的方向向量v=n1×n2=[*]={1,1,-1},故所求的直线方程为(x+1)/1=(y-1)/1=(z+2)/-1.

解析:

12.设函数z=arctan(x/y),求

[*]=1/y/1+(x/y)2=y/x2+y2,[*]=x2+y2-2y2/(x2+y22=x2-y2/(x2+y22

解析:

13.求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2-xyz在点P(1,-1,2)处沿方向L={1,0,1}的方向导数

[*]=2x-yz,[*]=2y-xz,[*]=2z-xy,则有

[*]

解析:

14.设函数z=ln(x2+y2)-sinxy,求全微分dz

Zx=2x/(x2+y2)-ycosxy,Zy=2y/(x2+y2)-xcosxy,于是dz=Zxdx+Zydy=[2x/(x2+y2)-ycosxy]dx+[2y/(x2+y2)-xcosxy]dy.

解析:

15.求椭圆锥面z2=x2+y2在点(1,1,1)处的法线方程

令F(x,y,z)=x2+y2-z2,则Fx=2x,Fy=2y,Fz=-2z,于是Fx(1,1,1)=-2,Fy(1,1,1)=2,Fz(1,1,1)=-2,故所求法线方程为(x-1)/2=(y-1)/2=(z-1)/-2,即x-1=y-1=1-z.

解析:

16.已知积分区域D是由x=-1,y=1,y-x=1所围成的闭区域,求二重积分

积分区域D,如下图所示,则

[*]

解析:

17.计算三重积分,其中积分区域Ω由y=

积分区域Ω如下图所示,故

[*]

解析:

18.计算对弧长的曲线积分

直线段L的方程为y=3x,其中0≤x≤1,于是[*].

解析:

19.求对坐标的曲线积分

令P(x,y)=(x+y)2,Q(x,y)=-(x2+y2),则[*]=2(x+y),[*]=-2x.

[*]

记L所围成的积分区域为D如上图所示,故有[*]

解析:

20.设函数f(x)满足f〞(x)+2fˊ(x)-3f(x)=2ex,求微分方程的一个特解函数f(x)

此方程是二阶常系数非齐次微分方程,其中f(x)=2ex,属于eλxPm(x)型(λ=1,m=0),则该方程所对应的的齐次方程的特征方程为r2+2r-3=0,解特征根为r1=-3,r2=1,所以λ=1是对应齐次方程的特征根,且为单根.故设其特解为f(x)*=b0xex则f(x)*ˊ=b0ex+b0xex,f(x)*”=b0ex+b0ex+b0xex=2b0ex+b0xex,代入微分方程得b0=1/2,于是原微分方程的一个特解f(x)=1/2xex

解析:

21.判定级数(1/3+1/2)+(1/9+1/4)+…+(1/3n+1/2n)+…的敛散性

令un=1/3n,vn=1/2n,级数[*]为等比级数,公比q=1/3<1,故级数[*]收敛.级数[*](其中k=1/2),因级数[*]发散,故[*]发散,故原级数发散.

解析:

22.求幂级数

因为ρ=[*]所以收敛半径R=27.当x±27时, [*]·(±27)n,则[*]=3n·n!·3n·n!·3n·n!/(3n)!>1故[*]≠0,即x=±27时级数发散故原级收敛区间为(-27,27).

解析:

综合题

23.求函数f(x,y)=2x2-2xy+y2-2x-2y+4的极值

解[*]得驻点(2,3),由于fxx=4,fxy=-2,fyy=2,于是△=f2xy-fxxfyy=(-2)2-4×2=-4<0,A=4>0,则点(2,1)是极小值点,故函数的极小值为f(2,1)=-1.

解析:

24.设曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线斜率为y/x,且该曲线经过点(1,2),求该曲线的方程

有题意可知yˊ=y/x,分离变量dy/y=dx/x,两边同时积分得lny=lnx+lnC,即y=Cx.由y(1)=2得C=2,故所求曲线方程为y=2x.

解析:

25.将函数f(x)=arctanx展开为x的幂级数

因为fˊ(x)=1/(1+x)2[*]所以f(x)[*]

解析:

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