全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷43附答案解析

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷43

单选题

1.已知向量α、β的模分别为|α|=3,|β|=(B)

A. π/2

B. π/4

C. π/3

D. π/6

解析:由α·β=|α|·|β|cosΘ=3×=3,于是cosΘ=

2.点P(2,-3,1)关于Oxz坐标面的对称点是( )(D)

A. (-2,3,-1)

B. (-2,-3,-1)

C. (2,-3,-1)

D. (2,3,1)

解析:设点P(2,-3,1)关于Oxz坐标面的对称点为P0(x0,y0,z0),则x0=x,y0=-y,z0=z,故P0(2,3,1).

3.若直线(x-3)/-8=y/2=(z+2)/m与平面4x-y+3z=4垂直,则m=( )(A)

A. -6

B. 6

C. 34/3

D. -34/3

解析:直线的方向向量和平面的法向量分别为v={-8,2,m}和n={4,-1,3}.若直线与平面垂直,则v∥n,即-8/4=2/-1=m/3,故m=-6.

4.设函数f(x,y)=2x2-y2+1,则点(0,0)( )(A)

A. 是f(x,y)的驻点但不是极值点

B. 是f(x,y)的极小值点

C. 是f(x,y)的极大值点

D. 不是f(x,y)的驻点

解析:fx=4x,fy=-2y,令fx=fy=0得x=y=0,因此(0,0)是驻点.由于A=fxx(0,0)=4>0,B=fxy(0,0)=0,C=fyy(0,0)=-2,△=B2-AC=8>0,故(0,0)不是极值点.

5.已知函数f(x,y)在(0,1)处的偏导数存在,则(C)

A. fx(0,1)

B. fx(0,2)

C. 1/2fx(0,1)

D. 2fx(0,1)

解析:=1/2

填空题

6.已知向量a={0,-1,3}和b={1,-2,-1},则-2a+b=____________

{1,0,-7}

解析:-2a+b=-2{0,-1,3}+{1,-2,-1}={0,2,-6)+{1,-2,-1)={1,0,-7}.

7.设函数z=lnxy,则全微分dz=____________

1/xdx+1/ydy

解析:函数z=lnxy,则=y/xy=1/x,

8.设L是A(1,0),B(0,1)之间的直线段,则I=

[*]

解析:AB间的线段表示为x+y=1.

9.微分方程y〞=x的通解y=____________

1/6x3+C1x+C2(C1,C2为任意常数)

解析:y〞=x,两边同时积分得yˊ=1/2x2+C1,两边再同时积分得y=1/6x3+C1x+C2.(C1,C2为任意常数)

10.无穷级数1-1/3+1/5+…+(-1)n/2n+1的和为____________

π/4

解析:由无穷级数的和形式,可联想到arctanx=x-1/3x3+1/5x5+…+(-1)n/2n+1x2n+1+…(-1≤x≤1),令x=1得arctanl=π/4=1-1/3+1/5+…+(-1)n/2n+1+…,即所要求的无穷级数的和为π/4.

计算题

11.求经过P(2,1,-3),且通过y轴的平面π的方程

所求平面π通过y轴,故可设其方程为Ax+Cz=0,又因为点P在平面π上,所以2A-3C=0,则A/C=3/2,故所求平面方程为3x+2z=0.

解析:

12.求曲面z=xy上点(1,2,2)处的法线方程

令F(x,y,z)=z-xy,则

[*]

则法线方程为(x-1)/-2=(y-2)/-1=(z-2)/1.

解析:

13.设方程sin(x2+y2+z2)-xy=1确定函数z=z(x,y),求

令F(x,y,z)=sin(x2+y2+z2)-xz-1,则Fx=2xcos(x2+y2+z2)-z,Fy=2ycos(x2+y2+z2),Fz=2zcos(x2+y2+z2)-x,故[*]

解析:

14.求函数f(x,y)=x2-xy+y2的梯度gardf(1,-1)

fx=2x-y,fy=-x+2y,则[*]=-1-2=-3.故gradf(1,1)=(3,-3)

解析:

15.计算二重积分

[*]

解析:

16.计算由(x+y)2+z2=1,z≥0,x≥0,y≥0所围成的体积

令[*]其中0≤r≤1,0≤θ≤π/2,0≤φ≤π/2,故V=

[*]

解析:

17.计算对弧长的曲线积分

积分曲线C如下图所示.

[*]

对于线段OA:y=0,dy=0,ds=dx,对于线段OB:x=0,dx=0,ds=dy,对于线段AB:y=1-x,ds=[*]故

[*]

解析:

18.计算对坐标的曲线积分

曲线C如下图所示.y=x2,则dy=2xdx,故有

[*]

解析:

19.求二阶微分方程y〞+yˊ-ex=0的通解

此微分方程属于y〞=f(x,yˊ)型,令p=yˊ,代入原方程得pˊ+p-ex=0,即pˊ+p=ex,该方程对应的齐次微分方程为pˊ+p=0,分离变量并积分dp/p=-dx,p=C1e-x,利用常数变易法,令p=u(x)e-x,则pˊ=uˊ(x)e-x-u(x)e-x,将pˊ及p代入微分方程pˊ+ p=ex得,uˊ(x)e-x=ex,即uˊ(x)=e2x,积分得u(x)=1/2e2x+C1,则p=(1/2e2x+C1)e-x=1/2ex+C1e-x.即yˊ=1/2ex+C1e-x.则原微分方程的通解为y=1/2ex-C1e-x+C2

解析:

20.求微分方程y〞-4yˊ+5y=0的通解

原微分方程的特征方程为r2-4r+5=0,解得特征根为r1=2+i,r2=2-i,由于r1与r2是一对共轭复根,因此所求的通解为y=e2x(C1cosx+C2sinx).

解析:

21.判断级数

设级数部分和数列为{Sn},则

[*]

即该级数的部分和Sn有界,故原级数收敛.

解析:

22.求幂函数

设un=(x+1)2n/(2n)!,则|(un+1/un|=|(x+1)2n+2/(2n+2)!·(2n)/(x+1)2n|=(x+1)2/(2n+1)(2n+2),则对任意的x都有[*]故级数的收敛半径R=+∞,收敛域为(-∞,+∞).该级数为缺奇数项的幂级数,故求收敛半径时不能用[*]

解析:

综合题

23.求y〞-2yˊ-3y=xex的通解

原方程相应的齐次方程的特征方程为r2-2r-3=0,解得r1=3,r2=-1.故齐次方程的通解为y=C1e-x+C2e3x,f(x)=xex,λ=1不是特征根,因此设特解y’=ex(b0x+b1),代入原微分方程得b0=-1/4,b1=0,故原微分方程的通解为y=C1e-x+C1e3x-1/4xex

解析:

24.将f(x)=ex2在x=0处展开为幂级数,并求级数

由ex=[*]1/n!xn(-∞<x<+∞),可知ex2=[*]1/n!xn(-∞<x<+∞).级数[*]1/n!就是将上式取x=±1可得到,故[*]1/n!=e.

解析:

25.将函数f(x)=2x(-π<x<兀)展成傅里叶级数

f(x)函数及其周期颜拓图像,如下图所示.

[*]

f(x)在(-π,π)内按段光滑,由收敛定理知其可展开成为傅里叶系数,又因为[*]=(-1)n+14/n(n≥1)(分布积分),所以f(x)在区间(-π,π)内的傅里叶级数展开式为f(x)=[*](-1)n+11/nsinnx.

解析:

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