全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷45附答案解析

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷45

单选题

1.平面x-2y+3z+4=0的法向量为( )

D

解析:

2.设函数f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则(B)

A. fx(x0,y0)

B. 1/2fx(x0,y0)

C. fy(x0,y0)

D. 1/2fy(x0,y0)

解析:

3.设函数f(x,y),g(x,y)具有连续的偏导数,且f(x,y)dx+g(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分,则f(x,y),g(x,y)满足( )(C)

A. B. C. D. 解析:

4.微分方程y〞-4yˊ+4y=x2e2x的一个特解y*可设为( )(A)

A. (b0x2+b1x+b2)x2e2x

B. (b0x2+b1x+b2)xe2x

C. (b0x2+b1x+b2)e2x

D. (b0x2+b1x)x2e2x

解析:原非齐次微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2-4r+4=0,故其特征根r1=r2=2,非齐次微分方程的f(x)=x2e2x(m=2,λ=2)故可设微分方程的一个特解形式为y*=(b0x2+b1x+b2)x2e2x

5.下列无穷级数中收敛的无穷级数是( )(C)

A. B. C. D. 解析:选项A,而级数发散,故也发散;选项B=1-1+1-1+···,当n为偶数时=0,当n为奇数时=1,故级数发散;选项D令un=2n/(2+n),则发散;选项C,令un=(3n-1)/3n,则

填空题

6.微分方程xdy=(x+y2/x+y)dx的通解为____________

arctany/x=lnx+C

解析:原方程可化为dy/dx=1+y2/x2+y/x.令u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+du/dx.故u+xdu/dx=1+u2+u.分离变量积分得

7.方程2y〞+yˊ-y=2x的一个特解是____________

y*=-2x-2

解析:方程2y〞+yˊ-y=2x对应的齐次方程为2y〞+yˊ-y=0.其特征方程为2λ2+λ-1=0,解之得λ1=-1,λ2=1/2.原方程的非齐次项f(x) =eλxPm(x)(其中λ=0,m=1),而λ=0不是其特征方程的解,故令其特解为y*=-2x-2.

8.幂级数

1

解析:设an1/(n+1)(n+2),则

9.幂级数e1+x在x=-1处展开式为____________

e1+x=1+(x+1)+(x+1)2/2!+…+(x+1)n/n!+…

解析:ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+…,故e1+x在x=-1处的幂级数展开式为e1+x=1+(x+1)+(x+1)2/2!+…+(x+1)n/n!+…

10.设函数f(x)=x2(-π<x<π)的傅里叶级数展开式为1/2a0

1

解析:

计算题

11.求与平面3x+2y-z+4=0和平面3x+2y-z=0的距离都相等的动点的轨迹方程

设动点P为(x,y,z),则点P到两平面的距离分别为[*]则有d1=d2,即[*]两边平方并整理得3x+2y-z+2=0.

解析:

12.求空间曲线L:x=t2,y=3t,z=2t3在点(1,-3,-2)处的法平面方程

由于点(1,-3,-2)在空间曲线上,将点代入曲线方程得t=-1,所以[*]则所求法平面的法向量为{-2,3,6},故所求法平面为-2(x-1)+3(y+3)+6(z+2)=0.

解析:

13.设函数z=f(x+y,lnxy),其中f是可微函数,求

[*]=f1+f2(lnxy)ˊ=f1+y/xyf2=f1+1/xf2,[*]=f1+f2(lnxy)ˊ=f1+x/xyf2=f1+1/yf2

解析:

14.求函数f(x,y)=exy在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,

方向l={2-1,[*]}={1,[*]}[*]=yexy,[*]=xexy

[*]

解析:

15.求曲面z=3-x2-2y2上平行于平面2x+4y+z+8=0的切平面方程

由z=3-x2-2y2,于是Zx=-2x,Zy=-4y,由于所求切平面平行于平面2x+4y+z+8=0,因此-1/1=-2x/2=-4y/4,解上式得x=1,y=1,z=0,则Zx=[*]故所求切平面方程为z=-2(x-1)-4(y-1).

解析:

16.计算二重积分I=

[*]

解析:

17.计算三重积分I=

积分区域Ω如下图所示,Ω在Oxy面上的投影域为Dxy:x2+y2≤1(z=0),于是

[*]

解析:

18.计算对弧长的曲线积分,

曲线L的参数方程x=cosΘ,y=sinΘ,则[*]

解析:

19.计算对坐标的曲线积分,

积分曲线L如下图所示.

[*]

对于弧AO,有y=sinx,dy=cosxdx,对于线段AO,有y=0,dy=0,故[*]

解析:

20.求微分方程(1+x)dy-1/ydx=0的通解

分离变量得ydy=dx/(1+2),两边积分得1/2y2=ln(1+x)+C.即为原微分方程的通解.

解析:

21.判断无穷级数

[*]由比值审敛法知原级数发散.

解析:

22.求幂级数

由于[*]所以收敛半径R=1.当x=±1时,[*]发散,故收敛区间为(-1,1).

解析:

综合题

23.求函数f(x,y)=2(x+y)-x2-y2的极值

由[*]得驻点(1,1),又由于fxx=-2<0,fxy=0,fyy=-2而△=f2xy-fxx fyy=0-(-2)×(-2)=-4<0所以f(x,y)在点(1,1)处取得极大值f(1,1)=2(1+1)-1-1=2.

解析:

24.验证在整个Oxy平面内(x2+2xy+y2)dx+(x2+2xy-y2)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y)

令P(x,y)=x2+2xy+y2,Q(x,y)=x2+2xy-y2,由于[*]=2x+2y=[*]在Oxy平面内处处成立,所以(x2+2xy+y2)dx+(x2+2xy-y2)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分.故u(x,y)[*]=1/3x3+x2y+xy2-1/3y3

解析:

25.设f(x)是以2π为周期函数,它在(-π,π)上的表达式为

[*]

所以在区间(-π,π)上,f(x)=1/2a0+[*](ancosnx+bnsinnx)=π/2+[*]-2[1-(-1)n]/n2πcosnx+(-1)n2/nsinnx.

解析:

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