全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷47附答案解析

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷47

单选题

1.在空间直角坐标系中,方程z=x2+y2的图形是( )(C)

A. 椭球面

B. 球面

C. 椭圆抛物面

D. 椭圆锥面

解析:

2.设函数z=sin(x+y),则(A)

A. cos(x+y)

B. -cos(x+y)

C. sin(x+y)

D. -sin(x+y)

解析:

3.设∑为半球面x2+y2+z2=1,z<0,则对面积的曲面积分(B)

A. 4π

B. 2π

C. 3π

D. π

解析:z=,则dS=,曲面∑在Oxy面上的投影为x2+y2≤1,所以

4.微分方程dy=(x2+y-1)dx是( )(C)

A. 可分离变量的微分方程

B. 二阶线性微分方程

C. 一阶线性微分方程

D. 齐次微分方程

解析:

5.幂级数x+x2/22+…+xn/n2的收敛半径R=( )(D)

A. 0

B. 2

C. +∞

D. 1

解析:令an=1/n2,则an+1=1/(n+1)2,因此

填空题

6.在空间直角坐标系中,Oxy平面上的曲线

y=[*]

解析:曲线绕y轴旋转,则y不变,将x换成,从而得旋转曲面的方程为

7.设函数z=u·v,u=x+y,v=x-y,则

2x

解析:

8.设二次积分I=

[*]

解析:将区域D分成两个小区域D1与D2,如下图所示.即D=D1+D2

故I

9.微分方程y〞+(yˊ)3-2x4+2=0的阶数是____________

2

解析:

10.设f(x)=xln(1+x)展成x幂级数为

-1/2

解析:由ln(1+x)=得xln(1+x)=

计算题

11.求过点(2,4,-1)并且与直线

直线[*]的方向向量为v=[*]={10,2,11},因为所求的直线过(2,4,-1),故起方程式为(x-2)/10=(y-4)/2=(z+1)/11.

解析:

12.设函数z=f(exy,x+y),其中f是可微函数,求

[*]=f1(exy)ˊ+f2(x+y)ˊ=yexy f1+f2,[*]=f1(exy)ˊ+f2(x+y)ˊ=xexy f1+f2

解析:

13.设函数f(x,y,z)=x2+2y2+2xyz,求f(x,y,z)在点p(-1,1,2)处的梯度

[*]=2x+2yz,[*]=4y+2xz,[*]=2xy,则[*]|(-1,1,2)=-2+2×2=2,[*]|(-1,1,2)=4-2×2=0,[*]|(-1,1,2)=-2,故gardf(-1,1,2)={2,0,-2}.

解析:

14.设函数z=ycosx,求

[*]=-ysinx,[*]=-sinx.

解析:

15.求曲面z=2x2+y2在点(1,1,3)处的切平面方程

令F(x,y,z)=2x2+y2-z,Fx(1,1,3)=4x|(1,1,3)=4,Fy(1,1,3)=2y|(1,1,3)=2,Fz=-1,故所求切平面方程为4(x-1)+2(y-1)-(z-3)=0.

解析:

16.计算二重积分

积分区域D,如下图所示,于是

[*]

解析:

17.设Ω是由旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0及平面z=1所围成的区域,求三重积分

积分区域Ω,如下图所示.Ω在Oxy坐标面上的投影城为Dxy:x2+y2≤1,

[*]

解析:

18.计算对弧长的曲线积分

[*]

解析:

19.计算曲线积分

令P(x,y)=x2y,Q(x,y)=-xy2,则[*]=-y2,[*]=x2,将L所围成的积分区域为D,根据格林公式有[*]

解析:

20.求微分方程yˊ=ex-y满足初始条件y(0)=1的特解

yˊ=ex-y,即eydy=exdx两边同时积分得ey=ex+C,将初始条件y(0)=1代入得C=e-1,故微分方程的特解为ey-ex-e=-1.

解析:

21.判定级数

由于当x>0时,sinx<x,所以un=3nsin1/4n<3n/4n=(3/4)n,令vn=(3/4)n,又因为[*]是等比级数,其中q=3/4<1,故[*]为收敛级数.由比较判别法可知[*]收敛.

解析:

22.设函数f(x)=x2(0≤x≤π)展开成为余弦级数为a0/2+

[*]

解析:

综合题

23.求函数f(x,y)=x2-4x+3y2+6y+1的极值点

由[*]得驻点(2,1).由于fxx=2,fxy=0,fyy=6,则△=f2xy-fxxfyy=-2×6=-12<0,故点(2,-1)是函数f(x,y)的极值点.

解析:

24.求椭圆抛物面z=x2+y2被平面z=0,z=1所截得的曲面面积

设所求曲面∑的面积为S,∑在Oxy坐标面上投影为D:x2+y2≤1,则有

[*]

解析:

25.求幂级数

设和函数S(x)=[*]逐项求积分可得[*]再设S1(x)=[*]逐项求积分可得[*]两边求导得S1(x)=1/(1-x)2,所以[*]两边求导得S(x)=2x/(1-x)3

解析:

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