全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷48附答案解析

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷48

单选题

1.在空间直角坐标系中,方程3y-4z=0的图形是( )(D)

A. 垂直于x轴的平面

B. 平行于x轴的直线

C. 通过原点的直线

D. 通过x轴的平面

解析:

2.若函数f(x,y)在(x0,y0)点存在偏导数,且在该点取得极小值,则下列结论正确的是( )(B)

A. 一定是最小值点

B. 一定是驻点

C. 一定是最大值点

D. 无法判断

解析:偏导存在极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点;极值点不一定是最值点.

3.设f(x)是连续函数,区域D:x2+y2≤4,则二重积分(A)

A. B. C. D. 解析:

4.微分方程y〞-2yˊ+y=0的通解y=( )(C)

A. C1ex

B. (C1cosx+C2sinx)ex

C. (C1+C1x)ex

D. C1sinxex

解析:微分方程y〞-2yˊ+y=0的张、特征方程为r3-2r+1=0,故微分方程的特征根r1=r2=1,故微分方程的通解为y=(C1+C2x)ex

5.下列无穷级数中,收敛的无穷级数是( )(C)

A. B. C. D. 解析:对于选项A由于,故此级数发散;对于选项B,由于也发散;对于选项D,由于,故选项D也发散;选项C

填空题

6.过点(1,4,-1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为____________

x-1=0

解析:因为所求的平面平行于Oyz坐标面,故设其方程为Ax+D=0,又因为该平面过点(1,4,-1),所以A+D=0,即A=-D,因此所求平面方程为x-1=0.

7.设函数z=exy(x2+y-1),则

exy(x2y+2x+y2-y)

解析:函数z=exy(x2y+2x+y-1),则

8.设∑为平面x+y+z=1,第一卦限中的部分,则对面积的曲面积分

[*]

解析:

9.已知y1=ex,y2=x2是微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个特解,则Q(x)=____________

(x2-2x)ex/x2-ex

解析:将y1=ex,y2=x2代入微分方程y’=P(x)y=Q(x)得

10.无穷级数1/1·6+1/6·11+…+1/[(5n-4)(5n+1)]+…的和为____________

1/5

解析:Sn=1/1·6+1/6·11+…+1/(5n-4)(5n+1)=1/5(1-1/6+1/6-1/11+…+1/5n―4―1/5n+1)=1/5(1-1/5n+1).

计算题

11.设平面π1:2x-y+z-7=0和平面π2:x+y+2z-11=0,求π1和π2的夹角

设两平面的夹角为Θ,由于两平面的法向量分别为n1={2,-1,1},n2={1,1,2},故[*]即两平面的夹角Θ=π/3.

解析:

12.求曲面z=arctan(y/x)+x-y在点(1,1,π/4)处的切平面方程

Zx=[*]则Zx(1,1)=1/2,Zy(1,1)=-1/2,故所求切平面方程1/2(x-1)-1/2(y-1)-(z-π/4)=0.

解析:

13.设方程z2+xyz-exy=1确定函数z=z(x,y),求

令F(x,y,z)=z2+xyz-exy-1,则

[*]

解析:

14.求函数f(x,y)=ln(x2y+x)的梯度gradf(x,y)

Fx=(2xy+1)/x2y+x,fy=x2/x2y+x=x/xy+1,故gardf(x,y)=[(2xy+1)/x2y+x,x/xy+1].

解析:

15.计算积分

[*]

解析:

16.已知积分区域Ω是由x2+y2=1,z=-1及z=1所围成,求三重积分

[*]

解析:

17.计算对坐标的曲线积分

由题意知,直线的参数方程为x=1+2t,y=1+3t,z=1+4t(0≤t≤1),

故[*]

解析:

18.计算对坐标面的曲面积分

积分区域[*],如下图所示,利用柱坐标变换.令x=cosΘ,y=sinΘ,0≤z≤1.

[*]

解析:

19.求微分方程y〞-2yˊ+y=0的通解

微分方程的特征方程为r2-2r+1=0,则其特征根为r1=r2=1,故所求通解为y=(C1+C2x)ex

解析:

20.求一曲线,使得该曲线上任意点(x,y)处的切线平行于x+3y=1,且点(1,2)在该曲线上

由题意知yˊ=-1/3,所以y=-1/3+C.又因为点(1,2)在该曲线上,故有C=2+1/3=7/3,因此所求方程为y=-1/3x+7/3即3y+x=7.

解析:

21.判断级数

[*]因此该级数收敛.

解析:

22.设函数f(x)=的傅里叶级数展开式为

an=[*]

故a3=-2/9π.

解析:

综合题

23.求曲面x2+y2+z=4将球体x2+y2+z2≤4z分成两部分的体积之比

由[*]得z=1,z=4(两曲面的切点),两曲面的交线为[*]如下图所示,两曲面所交的体积为V1和V22

[*]

V2=4/3π·23-37/6π=27/6π.故V1/V22=37/27.

解析:

24.计算

由∑区域(如下图所示)是封闭曲面,故

[*].

解析:

25.求旋转抛物面z=x2+y2被平面z=2和z=0所截部分的曲面面积

曲面Oxy平面上的投影区域D(如下图所示):x2+y2≤2,且[*]=2x,[*]=2y.

[*]

设所要求的曲面面积为S,则[*]

解析:

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