全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷49附答案解析

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷49

单选题

1.函数f(x,y)=(C)

A. {(x,y)|1≤x2+y2<4}

B. {(x,y)|1<x2+y2≤4}

C. {(x,y)|1<x2+y2<4}

D. {(x,y)|1≤x2+y2≤4}

解析:由题意知

2.下列结论不正确的是( )(D)

A. 点(0,0)是曲线y=x2的驻点

B. x=0是函数y=x2的极小值点

C. y=0是函数y=x2的极小值

D. 点(0,0)不是曲线y=x2的拐点

解析:函数y=x2的图形,如下图所示,我们可以由图形直接观察出A、B、C正确,D选项错误.

3.交换积分顺序,则(D)

A. B. C. D. 解析:又二重积分f(x,y)dy可知,积分区域D:0<x<1,0<y<,如下图所示,故原积分=

4.微分方程y\(A)

A. ex+C1x+C2

B. ex

C. ex+C1x

D. ex+C1

解析:y〞=ex,两边同时积分yˊ= ex+C1,两边再同时积分y=ex+C1x+C2

5.设无穷级数(B)

A. P>1

B. P<-1

C. P<1

D. P>-1

解析:无穷级数

填空题

6.已知向量a={k,2,-6)和β={2,-1,3}平行,则常数k=____________

-4

解析:因为α与β平行,故有k/2=2/-1=-6/3=-2,即k=-4.

7.设函数f(x,y)=x2-y2,则f(x+y,

x2+xy+y2

解析:因f(x,y)=x2-y2,则f(x+y,)=(x+y)2-(

8.设λ是常数,若(1/y+x)dx+(y2-x/yλ)dy是某个函数u(x,y)的全微分,则λ=____________

2

解析:令P(x,y)=1/y+x,Q(x,y)=y2-x/yλ,则=-1/y2=-1/yλ,因为(1/y+x)dx+(y2-x/yλ)dy是某个函数u(x,y)的全微分,故

9.通解为y=C1ex+C2e2x(C1,C2为任意实数)的二阶常系数线性齐次微分方程为____________

y〞-3yˊ+2y=0

解析:由题意可知,二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程有两个不相等的实根,r1=1,r2=2,故特征方程为r2-3r+2=0,因此所要求的的微分方程为y〞-3yˊ+2y=0.

10.若

发散

解析:

计算题

11.计算I=

I=[*](x+1)dy=[*](xex+ex)dx=[*]xexdx+[*]exdx=[*]=e.

解析:

12.计算I=

利用极坐标系区域D可写为[*],则I=[*]

解析:

13.计算I=,其中Ω是由锥面z=

[*]

区域Ω在Oxy平面上的投影区域Dxy(如上图所示)I=[*]

解析:

14.求由x2-2x+y2=0,z=x2+y2/2,与z=0所围成的立体的体积

积分区域D:(x-1)2+y2≤1,0≤z≤(x2+y2/2,由柱面坐标法得V=[*]

解析:

15.计算三重积分

[*]

解析:

16.求由直线x+y=2,x=2,y=2所围成的面积

积分区域D:x+y≥2,x=2,y=2,如下图所示.

[*]

解析:

17.计算的值,L是抛物线x=-y2上点A(-2,

弧微分公式:ds=[*].因为x=-y2,所以ds=[*],故有

[*]

解析:

18.计算曲线积分I=

令P(x,y)=y/x2(x2sinxy-1),Q(x,y)-1/x(1+x2sinxy)dy,则[*]=1/x2(x2sinxy-1)+y/x2·x3cosxy=-(1/x2)+sinxy+xycosxy,[*]=-(1/x2)(1+x2sinxy)+1/x(2xsinxy++x2ycosxy)=-(1/x2)+sinxy+xycosxy.即

[*]

故曲线积分与路径无关,选取路径如上图所示,在线段AC上y=1,dy=0,在线段BC上,x=2,dx=0.故[*]

解析:

19.设du=(x2+xy)dx+(y2+x2/2)dy,求原函数u(x,y)

令P(x,y)=x2+xy,Q(x,y)=y2+x2/2,则有

[*]

此处易出错是漏掉常数C.

解析:

20.计算曲面积分I=

积分区域∑如下图所示,∑:z=1-x-y,则曲面的面积微元

[*]

解析:

21.将坐标的曲线积分

ds=[*],cosα=dx/ds=[*],则cosβ=sinα=[*].故[*].

解析:

22.应用格林公式计算曲线积分I=

闭区域D:x=0,y=0,y-x=1,如下图所示.

[*]

解析:

综合题

23.求点M(2,1,4)到直线L:(x-1)/3=(y+1)/-2=(z-3)/1的距离

设点M到直线L的垂足为N,则[*]就是点M到直线L的距离,因点N在直线L上,故设N对应的参变量为t,则N(3t+1,-2t-1,t+3),又因直线L的方向向量为v={3,-2,1},由题意可知v⊥[*]={3t-1,-2t-2,t-1},则v·[*]=0,即3(3t-1)+(-2)·(-2t-2)+(t-1)=0,解得t=0,从而[*]={-1,-2,-1},则有[*]于是点M到直线L的距离为[*].

解析:

24.(1)已知函数z+y+z=sin(x+y+z),求z对x,y的一阶与二阶偏导数;

(2)已知函数z=

令F(x,y,z)=x+y+z-sin(x+y+z),则Fx=Fy=Fz=1-cos(x+y+z).故[*]=-Fx/Fz=-1,[*]=-Fy/Fz=-1,[*]=0.

[*]=y·[*]·(-x2/2y2)ˊ=[*][*]=1/y2(x2+y2)[*]所以dz=-x/y[*]dx+1/y2(x2+y2)[*]dy=e﹙-x2/2y2/y2[-xydx+(x2+y2)dy].

解析:

25.求曲面z=x2+2xy+4y2在点(1,-2,13)处的切平面及法线方程

设F(x,y,z)=x2+2xy+4y2-z则有Fx=2x+2y,Fy=2x+8y,Fz=-1.故Fx(1,-2,13)=-2,Fy(1,-2,13)=-14,Fz(1,-2,13)=-1.因此切平面方程为-2(x-1)-14(y+2)-(z-13)=0.即2x+14y+z+13=0.法线方程为(x-1)/-2=(y+2)/-14=(z-13)/-1.

解析:

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