考研数学(数学一)模拟试卷589附答案解析

考研数学(数学一)模拟试卷589

选择题

1.曲线(D)

A. 1条。

B. 2条。

C. 3条。

D. 4条。

解析:首先,x=0和x=1是两个明显的间断点,且,所以x=0和x=1是两条垂直渐近线;其次,所以沿x→+∞方向没有水平渐近线,沿x→-∞方向有一条水平渐近线y=0。最后,

2.设函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,则( )(A)

A. 函数B. 函数C. 函数D. 函数解析:方法一:令F(x)=x2[f(x)+f(-x)],由题设知F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数,且F(-x)=(-x)2[f(-x)+f(x)]=X2[f(x)+f(-x)]=F(x),

即F(x)是偶函数,于是对任意的x∈(-∞,+∞),

满足

即G(x)是奇函数。故选(A)。

方法二:可举例说明选项(B)、(C)、(D)都不正确。为此设f(x)=x,于是x2[f(x)-f(-x)]=X2[x-(-x)]=2x3

3.若y=xex+x是微分方程y”-2y’+ay=bx+c的解,则( )(B)

A. a=1,b=1,c=1。

B. a=1,b=1,c=-2。

C. a=-3,b=-3,c=0。

D. a=-3,b=1,c=1。

解析:由于y=xex+x是微分方程y\

4.设有命题:

①若正项级数收敛。

②若正项级数

③若则级数同敛散。

④若数列{an}收敛,则级数(A)

A. 1个。

B. 2个。

C. 3个。

D. 4个。

解析:④是正确的,因为级数的部分和数列为Sn=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-a1,因数列{an}收敛,故,则存在,级数收敛。

①不正确。例如满足,但是并不收敛。

②不正确。正项级数收敛,但极限不一定存在,如根据比较判别法,

所以收敛,但是不存在。

③不正确。例如容易验证但级数收敛,而

5.设A为4阶矩阵,A=(B)

A. B. C. D. 解析:Ax=0的基础解系为(1,2,-3,0)T,可知r(A)=3且线性相关,所以(A)项正确。因为r(A)=3且线性相关,若线性表出,则所以该选项错误,故选(B)。

由于可知线性表出,故因此线性无关,所以(C)项正确。

由于可知

6.已知随机变量X,Y均服从正态分布N(μ,σ2),且P{max{X,Y}≥μ}=a(0<a<1),则P{min{X,Y}<μ}=( )(C)

A. B. C. a

D. 1-a

解析:由题设可知P{max{X,Y}≥μ}=1-P{max{X,Y}<μ}=1-P{X<μ,Y<μ},而P{min{X,Y}<μ}=P{X<μ或Y<μ}=P{X<μ}+P{Y<μ}-P{X<μ,Y<μ}=1一P{X<μ,Y<μ}。从而P{max{X,Y}<μ}=P{max{X,Y}≥μ}=a。故选(C)。

7.已知X的分布函数为F(x),概率密度为f(x),a为常数,则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )(C)

A. f(x+a)。

B. f(-x)。

C. af(ax)。

D. 2f(x)F(x)。

解析:由题设可知f(x)为概率密度,故f(x)≥0,

8.已知=(1,-3,2)T,β=(0,1,2)T,设矩阵A=(A)

A. B. β。

C. D. 解析:由题设可知,所以的特征值为即0,0,1,所以A的特征值为-1,-1,0。A属于0的特征向量等于属于1的特征向量,即

填空题

9.设有向量场A=2x3yzi-x2y2zj-x2yz2K,则其散度divA在点M(1,1,2)处沿方向n=(2,2,-1)的方向导数

[*]

解析:根据散度的公式可得divA=2x2yz,那么grad(divA)=(4xyz,2x2z,2x2y),在点M(1,1,2)处的梯度为grad(divA)=(8,4,2),n单位化得(2,2,-1),根据方向导数公式可得

10.设Ω是空间区域{(x,y,z)|x2+y2+z2≤1},则

[*]

解析:因为积分区域为x2+y2+z2≤1,该积分区域关于x=y=z对称,

11.设A为三阶非零矩阵,已知A的各行元素和为0,且AB=0,其中B=

k1(1,2,3)T+k2(1,l,1)T,k1,k2为任意常数

解析:因为AB=0,所以显然有A(1,2,3)T=0;另一方面,因为A的各行元素和为0,所以A(1,1,1)T=0。又因为A为三阶非零矩阵,所以Ax=0的基础解系中线性无关的解向量至多有两个,所以Ax=0的通解为k1(1,2,3)T+k2(1,l,1)T,k1,k2为任意常数。

12.设随机变量X1,X2相互独立,X1服从正态分布N(μ,σ2),X2的分布律为P{X2=1}=P{X2=-1}=

0

解析:分布函数的间断点即概率不为0的点,令Y=X1X2∈(-∞,+∞),由于X1X2相互独立,则P{Y=a}=P{X2=1,X1=a}+P{X2=-l,X1=-a}=P{X2=1}P{X1=a}+P{X2=-l}P{X1=-a}=0。对任意数a,P{Y=a}=0,因此无间断点。

13.设f(x)=x sin2x,则f(2017)(0)=__________。

-220152017

解析:

求2017次导数为0,对于根据莱布尼茨公式可得

14.曲面z=x2+y2与平面2x-y+z=1垂直的法线方程为_________。

[*]

解析:平面2x-y+z=1的法向量为n1=(2,-1,1),曲面z=x2+y2的法向量为n2=(-2x,-2y,1),则有

可得x=-1,,代入z=x2+y2,可得,则法线方程为

解答题

15.设总体X~U(1,θ),参数θ>1未知,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本。

(Ⅰ)求θ的矩估计量和极大似然估计量;

(Ⅱ)求上述两个估计量的数学期望。

总体X~U(1,θ),其概率密度为

[*]

(Ⅰ)由[*]解得[*]故θ的矩估计量为[*]似然函数

[*]

L(θ)递减,又X1,X2,…,Xn∈(1,θ),故θ的极大似然估计量为[*]

(Ⅱ)[*]

而[*]=max{X1,X2,…,Xn}的分布函数

[*]

解析:

16.设随机变量X和Y相互独立,X服从正态分布N(μ,σ2),Y在区间[-π,π]上服从均匀分布,求随机变量Z=X+Y的概率分布。(计算结果用标准正态分布表示,其中

X和Y的概率密度分别为

[*]

由于X和Y相互独立,根据卷积公式,可得Z=X+Y的概率密度

[*]

令[*]则dy=-σdt。当y=-π时,[*]当y=π时,[*]因此

[*]

解析:

17.设二次型xTAx=ax12+2x22-x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,实对称矩阵A满足AB=0,其中B=

(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A=[*],因为AB=0,所以

[*]

从而[*]解得[*]

下面求A的特征值

[*]

A的特征值为0,6,-6。

当λ=0时,求解线性方程组(OE-A)x=0,解得a1=(1,0,1)T

当λ=6时,求解线性方程组(6E-A)x=0,解得a2=(-1,-2,1)T

当λ=-6时,求解线性方程组(-6E-A)x=0,解得a3=(-1,1,1)T

下面将a1a2a3单位化

[*]

[*]

则二次型通过正交变换x=Qy化为标准型f=6y22-6y32,其中

[*]

(Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)=2,r(B)=1,由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。

解析:

18.已知线性方程组

由题设可知线性方程组的系数矩阵为

A=[*],

增广矩阵为

[*]

对增广矩阵作初等行变换

[*]

方程有无穷多解,则r(A)=r(A,b)≤3,所以a=2,b=-3。

下面求线性方程组的通解,将增广矩阵化为行最简形。

[*]

从而原方程组可化为

[*]

齐次线性方程组所对应的基础解系为ξ=(-14,4,9,1)T,特解为η*=(-4,0,3,0)T,从而通解为x=η*+kξ,k为任意常数。

解析:

19.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f(a)≠f(b)。证明存在η,ξ∈(a,b),使得

根据题设条件并由拉格朗日中值定理知,存在一点η∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f’(η)(b-a)。令g(x)=x2,g(x)在(-∞,+∞)上连续且可导,则由柯西中值定理知,存在ξ∈(a,b),使得

[*]

[*]

所以

[*]

[*]

化简得

[*]

解析:

20.将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数

题中所给函数为偶函数,因此

bn=0,n=l,2,…,[*]

由狄利克雷收敛定理可知

[*]

令x=0,则[*]则

[*]

[*]

因此

[*]

解析:

21.计算曲线积分,其中具有连续的导数,曲线

添加一条边BA,则

[*]

曲线与直线AB所围成的区域记为D,由格林公式可得

[*]

由于D的面积为2,可知[*]

直线AB的方程为[*]则

[*]

其中

[*]

从而I=-6π2

解析:

22.设对x>0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续一阶导数,且

根据已知条件,结合高斯公式,有

[*]

[*]

其中Ω是由∑围成的有界封闭区域,由∑的任意性可知xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x>0),即

[*]

于是

[*]。

由于[*]

所以[*],即C+1=0,C=-1。故

[*]

解析:

23.求

[*]

[*]

所以I=e0=1。

解析:

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