考研数学三(级数)模拟试卷7附答案解析

考研数学三(级数)模拟试卷7

选择题

1.设条件收敛,且(C)

A. |r|<1

B. |r|>1

C. r=-1

D. r=1

解析:因为un条件收敛,所以级数un一定不是正项或负项级数,故r≤0.

若|r|<1,则=|r|<1,级数un绝对收敛,矛盾;

若|r|>1,=|r|>1,存在充分大的N,当n>N时,{|un|}单调增加,

un≠0,于是

2.设un=(-1)nln(1+(B)

A. unB. un条件收敛,C. unD. 发散,解析:显然un条件收敛,u2nln@(1+),因为ln2(1+)-,而收敛,所以

3.设幂级数an(x-2)n在x=6处条件收敛,则幂级数(A)

A. 2

B. 4

C. D. 无法确定

解析:因为an(x-2)n在x=6处条件收敛,所以级数anxn的收敛半径为R=4,又因

为级数xnanxn有相同的收敛半径,所以xn的收敛半径为R=4,于

填空题

4.

2S([*])2(1-ln2)

解析:令S(x)=xn+1(-1<x<1),

则S’(x)=nxn=xnxn-1=x(xn)’=x(xn)’=x()’=

因为S(0)=0,

所以S(x)=S(x)-S(0)=dt=dt

=ln|t-1|=ln|x-1|-(+1)=ln|x-1|-

=2S(

5.设级数

-[*]<p≤[*]

解析:

因为(-1)n+1条件收敛,所以0<p+≤1,即p的范围是-<p≤

解答题

6.对常数P,讨论幂级数

由[*]=1,得幂级数的收敛半径为R=1.

(1)当P<0时,记q=-P,则有[*]=+∞,因而当x=±1时,[*]发散,此时幂级数的收敛域为(-1,1);

(2)当0≤p<1时,对[*],因为[*]=+∞,所以x=1时,级数[*]发散,当x=-1时,[*]显然收敛,此时幂级数的收敛域为[-1,1);

(3)p=1时,[*]发散,[*]收敛,此时幂级数的收敛域为[-1,1);

(4)当p>1时,对[*],因为[*],而[*]收敛,所以级数[*]收敛,当x=-1时,[*]显然绝对收敛,此时幂级数的收敛域为[-1,1].

解析:

7.设f(x)在区间[a,b]上满足a≤f(x)≤b,且有|f’(x)|≤q<1,令un=f(un-1)(n=1,2,…),u0∈[a,b],证明:级数

因为|un+1-un|=|f(un)-f(un-1)|=|f’(ξ1)|un-un-1

≤q|un-un-1|≤q2|un-1-un-2|≤…≤qn|u1-u0

且[*]qn收敛,所以[*]|un+1-un|收敛,于是[*](un+1-un)绝对收敛.

解析:

8.设f(x)在(-∞,+∞)内一阶连续可导,且=1.证明:(-1)nf()收敛,而f(

由[*]=1得f(0)=0,f’(0)=1,于是f([*])=f’(ξ)[*](0<ξ<[*]).

因为[*]f’(x)=f’(0)=1,所以存在δ>0,当|x|<δ时,f’(x)>0,

于是存在N>0,当n>N时,[*]<δ,

f([*])>f(0)=0,f([*])<f([*]),且[*]=0,

由莱布尼茨审敛法知[*](-1)nf([*])收敛,

因为f([*])=f’(ξ)[*]且[*]发散,所以[*]发散.

解析:

9.设f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导,且=0.证明:级数f(

由[*]=0,得f(0)=0,f’(0)=0.由泰勒公式得

f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x2=[*]x2,其中ξ介于0与x之间.

又f”(x)在x=0的某邻域内连续,从而可以找到一个原点在其内部的闭区间,在此闭区间内有|f”(x)|≤M,其中M>0为f”(x)在该闭区间上的界.

所以对充分大的n,有

|f([*])|≤[*]

因为[*]收敛,所以[*]收敛,即[*]绝对收敛.

解析:

10.设y=y(x)满足y’=x+y,且满足y(0)=1,讨论级数

由y’=x+y得y”=1+y’,再由y(0)=1得y’(0)=1,y”(0)=2,根据麦克劳林公式,有y([*])=y(0)+y’(0)[*]y”(0)([*])2+o([*])=1+[*],

因为|y([*])-1[*]且[*]收敛,所以[*]绝对收敛.

解析:

11.求幂级数

[*],

幂级数[*]的收敛半径为R1=[*],

当x=±(1/2)时,[*]发散,

所以[*]的收敛域为([*]).

幂级数[*]的收敛半径为R2=[*],

当x=±[*]时,[*]发散,

所以[*]的收敛域为([*]),

故[*]的收敛域为([*]).

解析:

12.求函数f(x)=ln(1-x-2x2)的幂级数,并求出该幂级数的收敛域.

f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(x+1)(1-2x)=ln(1+x)+ln(1-2x),

因为ln(1+x)=[*]xn(-1<x≤1),

1n(1-2x)=-[*]xn(-[*]≤x<[*]),

所以f(x)=[*]xn,收敛域是([*]).

解析:

13.求幂级数

级数[*]x2n的收敛半径为R=+∞,收敛区间为(-∞,+∞).令S(x)=[*]x2n

则S(x)=[*]x2n=2[*]x2n+[*]

=2x2[*]x(2n-1)+[*]-1

=2x2[*]x2n+[*]-1=(2x2+1)[*]-1(-∞<x<+∞).

解析:

14.求幂级数

显然该幂级数的收敛域为[-1,1],

令S(x)=[*],

则S(x)=[*],

而[*]=-xln(1-x)(-1≤x<1),

[*]-x=-x-ln(1-x)(-1≤x<1),

则S(x)=x+(1-x)ln(1-x)(-1≤x<1).

当x=1时,S(1)=[*]=1,

所以S(x)=[*]

解析:

15.求幂级数

由[*]=0,得收敛半径R=+∞,该幂级数的收敛区间为(-∞,+∞),

令S(x)=[*]xn

则S(x)=[*]xn+[*]xn=[*]xn+ex

=[*]xn+ex=[*]xn+[*]xn+ex

=[*]xn+x[*]x(n-1)+ex

=[*]xn-2+xex+ex

=x2ex+xex+ex=(x2+x+1)ex(-∞<x<+∞)

解析:

16.求

[*]

令S(x)=[*]n(n-1)xn-2,显然其收敛域为(-1,1),则S(x)=[*]n(n-1)xn-2=[*]n(n-1)xn-2=([*])”=([*])”=[*],

于是[*].

解析:

设f(x)的一个原函数为F(x),且F(x)为方程xy’+y=ex的满足

17.求F(x)关于x的幂级数;

由xy’+y=ex得[*],解得

y=([*]dx+C)[*],

因为[*]y(x)=1,所以C=-1,于是

F(x)=[*]=1+[*]+…+[*]+…(-∞<x<+∞且x≠0).

解析:

18.求

[*]=[F(x)]’|x=1=1.

解析:

19.将函数f(x)=arctan

f(0)=[*],f’(x)=[*](-1)nx2n(-1<x<1),

由逐项可积性得

f(x)-f(0)=[*]f’(x)dx=[*]x2n+1

所以f(x)=[*]x2n+1(-1≤x<1).

解析:

设f(x)=

20.求f(x)满足的微分方程;

f’(x)=[*]xn-1=[*]xn-1

=[*]xn-1+[*]

=[*]xn+x[*]=f(x)+xex

则f(x)满足的微分方程为f’(x)-f(x)=xex

f(x)=([*]xex[*]dx+C)[*]=ex([*]+C),

因为a0=1,所以f(0)=1,从而C=1,于是f(x)=ex([*]+1).

解析:

21.求

[*]=f(1)=[*].

解析:

22.证明:S(x)=

显然级数的收敛域为(-∞,+∞),

S’(x)=[*],S”(x)=[*],S’”(x)=[*],

S(4)(x)=[*]=S(x),

显然S(x)满足微分方程y(4)-y=0.

y(4)-y=0的通解为y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx,

由S(0)=1,S’(0)=S”(0)=S’”(0)=0得 C1=[*],C2=[*],C3=[*],C4=0,故和函数为S(x)=[*]cosx.

解析:

23.设un>0,且=q存在.证明:当q>l时级数un收敛,当q<1时级数

当q>1时,取ε0=[*]>0,因为[*]=q,所以存在N>0,当n>N时,

[*],从而有[*]=r(>1),所以有0≤un<[*],

而[*]收敛,所以[*]un收敛,故[*]un收敛.

当q<1时,取ε0=[*]>0,因为[*]=q,所以存在N>0,当n>N时,

[*],从而有[*]=r(<1),

所以有un>[*],而[*]发散,所以[*]un发散,故[*]un发散.

解析:

24.设级数(an-an+1)收敛,且bn绝对收敛.证明:

令Sn=(a1-a0)+(a2-a1)+…+(an-an-1),则Sn=an-a0

因为级数[*](an-an-1)收敛,所以[*]Sn存在,设[*]Sn=S,则有

[*]an=S+a0,即[*]an存在,于是存在M>0,对一切的自然数n有|an|≤M.

因为[*]bn绝对收敛,所以正项级数[*]|bn|收敛,又0≤|anbn|≤M |bn|,

再由[*]M|bn|收敛,根据正项级数的比较审敛法得[*]|anbn|收敛,即级数[*]anbn绝对收敛.

解析:

25.设antannxdx,对任意的参数λ,讨论级数

由an+an+2=[*]sec2xtannxdx=[*],an+an-2=[*]sec2xtann-2xdx=[*],得

[*]≤an≤[*](n≥2),即an~[*](n→∞),所以[*](n→∞).

(1)当λ>0时,因为级数[*]收敛,所以级数[*]收敛;

(2)当λ≤0时,因为级数[*]发散,所以级数[*]发散.

解析:

设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=

26.证明:fn(x)=

n=1时,f1(x)=[*]f0(t)dt,等式成立;

设n=k时,fk(x)=[*]f0(t)(x-t)k-1dt,

则n=k+1时,fk+1(x)=[*]fk(t)dt=[*]f0(u)(t-u)k-1du=[*]f0(u)(t-u)k-1dt

=[*]f0(u)(x-u)kdu,

由归纳法得fn(x)=[*]f0(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…).

解析:

27.证明:

对任意的x∈(-∞,+∞),f0(t)在[0,x]或[x,0]上连续,于是存在M>0(M与x有关),使得|f0(t)|≤M(t∈[0,x]或t∈[x,0]),于是

|fn(x)|≤[*](x-t)n-1dt|=[*]|x|n

因为[*]=0,所以[*]|x|n收敛,根据比较审敛法知[*]fn(x)绝对收敛.

解析:

28.设a0=1,a1=-2,a2,an+1=-(1+)an(n≥2).证明:当|x|<1时,幂级数

由[*]=1,得幂级数的收敛半径R=1,所以当|x|<1时,幂级数[*]anxn收敛.由an+1=-(1+[*])an,得an=[*](-1)n(n+1)(n≥3),所以

S(x)=[*]anxn=1-2x+[*]x2+[*](-1)n(n+1)xn

=1-2x+[*]x2-[*].

解析:

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