考研数学三(矩阵)模拟试卷1附答案解析

考研数学三(矩阵)模拟试卷1

选择题

1.设A是m×n阶矩阵,B是n×m阶矩阵,则( ).(B)

A. 当m>n时,必有|AB|≠0

B. 当m>n时,必有|AB|=0

C. 当n>m时,必有|AB|≠0

D. 当n>m时,必有|AB|=0

解析:AB为m阶矩阵,因为r(A)≤min{m,n),r(B)≤min{m,n),且r(AB)≤min{r(A),r(B)},

所以r(AB)≤min{m,n},故当m>n时,r(AB)≤n<m,于是|AB|=0,选B.

2.设A,B,A+B,A-1+B-1皆为可逆矩阵,则(A-1+B-1)-1等于( ).(C)

A. A+B

B. A-1+B-1

C. A(A+B)-1B

D. (A+B)-1

解析:A(A+B)-1B(A-1+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E,选C.

3.设A,B都是n阶可逆矩阵,则( ).(B)

A. (A+B)*=A*+B*

B. (AB)*=B*A*

C. (A-B)*=A*-B*

D. (A+B)*一定可逆

解析:因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=|B|B-1?|A|A-1=B*A*,所以选B.

4.设A为n阶矩阵,k为常数,则(kA)*等于( ).(C)

A. kA*

B. knA*

C. kn-1A*

D. kn(n-1)A*

解析:因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式,而余子式为n-1阶子式,

所以(kA)*=kn-1A*,选C.

5.设A为n阶矩阵,A2=A,则下列成立的是( ).(D)

A. A=0

B. A=E

C. 若A不可逆,则A=0

D. 若A可逆,则A=E

解析:因为A2=A,所以A(E-A)=O,由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n,若A可逆,则r(A)=n,所以r(E-A)=0,A=E,选D.

6.设A为m×n阶矩阵,且r(A)=m<n,则( ).(C)

A. A的任意m个列向量都线性无关

B. A的任意m阶子式都不等于零

C. 非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解

D. 矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em解析:显然由r(A)=m<n,得r(A)=r(A)=m<72,所以方程组AX=b有无穷多个解.选C.

7.设P1,P2,A=,若Pm1APn2(B)

A. m=3,n=2

B. m=3,n=5

C. m=2,n=3

D. m=2,n=2

解析:Pm1Pn2

经过了A的第1,2两行对调与第1,3两列对调,P1=E12

P2

8.设A=,B=,P1,P2(C)

A. A-1P1P2

B. P1A-1P2

C. P1P2A-1

D. P2A-1P1

解析:B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1,所以B-1=P-12P-12A-1

B-1=P-11P-12A-1,注意到E-1ij=Eij于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1,选C.

9.设P=(C)

A. 当t=6时,r(Q)=1

B. 当t=6时,r(Q)=2

C. 当t≠6时,r(Q)=1

D. 当t≠6时,r(Q)=2

解析:因为Q≠O,所以r(Q)≥1,又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3,当t≠6时,r(P)≥2,

则r(Q)≤1,于是r(Q)=1,选C.

填空题

10.设A,B都是三阶矩阵,A=

-6A(E+3A)-1=[*]

解析:|A|=-3,A*=|A|A-1=3A-1,则(A*)-1B=ABA+2A2化为-AB=ABA

+2A2,注意到A可逆,得-B=BA+2A或-B=3BA+6A,则B=-6A(E+3A)-1

E+3A=,(E+3A)-1,则

B=-6A(E+3A)-1=-

11.设矩阵A,B满足A*BA=2BA-8E,且A=

4(A+E)-1=[*]

解析:由A*BA=2BA-8E,得AA*BA=2ABA-8A,即-2BA=2ABA-8A,

于是-2B=2AB-8E,(A+E)B=4E,所以B=4(A+E)-1

12.

E13[*]

解析:=E13=E12

因为E-1ij=Eij,所以E2ij=E,

于是=E13

13.设A=

6

解析:因为r(B*)=1,所以r(B)=2,又因为AB=O,所以r(A)+r(B)≤3,从而r(A)≤l,

又r(A)≥1,r(A)=1,于是t=6.

14.设A=

1

解析: BA=O

解答题

设A=E-aaT,其中a为n维非零列向量.证明:

15.A2=A的充分必要条件是a为单位向量;

令aTa=k,则A2=(E-aaT)=(E-aaT)=E-2aaT+kaaT,因为a为非零向量,所以aaT≠O,于是A2=A的充分必要条件是k=1,而aTa=||a||2,所以A2=A的充要条件是a为单位向量.

解析:

16.当a是单位向量时A为不可逆矩阵.

当a是单位向量时,由A2=A得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=aaT≠O,所以r(E-A)≥1,于是r(A)≤n-1<n,故A是不可逆矩阵.

解析:

设A为n阶非奇异矩阵,a是n维列向量,b为常数,P=,Q=

17.计算PQ;

PQ=[*]

解析:

18.证明:PQ可逆的充分必要条件是aTA-1≠b.

|PQ|=|A|2(b-aTA-1a),PQ可逆的充分必要条件是|PQ|≠0,即aTA-1a≠b.

解析:

19.设矩阵A满足(2E-C-1B)AT=C-1,且B=,C=

由(2E-C-1B)AT=C-1,得AT=(2E-C-1B)-1C-1=[C(2E-C-1B)]-1=(2C-B)-1

2C-B=[*]

得AT=(2C-B)-1=[*],所以A=[*].

解析:

20.设a,β是n维非零列向量,A=aβT+βaT.证明:r(A)≤2.

r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT),

而r(αβT)≤r(α)=1,r(βαT)≤r(β)=1,

所以r(A)≤r(αβT)+r(βαT)≤2.

解析:

21.设a是n维单位列向量,A=E-aaT.证明:r(A)<n.

A2=(E-aaT)(E-aaT)=E-2aaT+aaT?aaT,因为a为单位列向量,所以aTa=1,于是A2=A.由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n,又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n,得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=aaT≠O,所以r(E-A)=r(aaT)=r(a)=1,故r(A)=n-1<n.

解析:

22.设A为n阶矩阵,证明:r(A*)=

AA*=A*A=|A|E.

当r(A)=n时,|A|≠0,因为|A*|=|A|n-1,所以|A*|≠0,从而r(A*)=n;

当r(A)=n-1时,由于A至少有一个n-1阶子式不为零,所以存在一个Mij≠0,进而

Aij≠0,于是A*≠O,故r(A*)≥1,又因为|A|=0,所以AA*=|A|E=O,根据矩

阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n,而r(A)=n-1,于是得r(A*)≤1,故r(A*)=1;

当r(A)<n-1时,由于A的所有,n-1阶子式都为零,所以A*=O,故r(A*)=0.

解析:

23.设A为n阶矩阵,证明:r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量a,β,使得A=aβT

设r(A)=1,则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例,

令A=[*],于是A=[*](b1 b1…bn),

令α=[*],β=[*],故A=αβT,显然α,β为非零向量.设A=αβT,其中α,β为非零向量,则A为非零矩阵,于是r(A)≥1,又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1,故r(A)=1.

解析:

24.设A为n阶矩阵且r(A)=n-1.证明:存在常数k,使得(A*)2=kA*

因为r(A)=n-1,所以r(A*)=1,于是A*=[*](b1…bn),

其中α=[*].β=[*]为非零向量,故

(A*)2=[*](b1…bn)

[*](b1…bn)=kA*,其中k=[*]aibi

解析:

25.设A是n(n≥3)阶矩阵,证明:(A*)*=|A |n-2A.

(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E,

当r(A)=n时,r(A*)=n,A*=|A|A-1,则(A*)*A*=(A*)*|A|A-1=|A|n-1E,故(A*)*=|A|n-2A.

当r(A)=n-1时,|A|=0,r(A*)=1,[(A*)*]=0,即(A*)*=O,原式显然成立.

当r(A)<n-1时,|A|=0,r(A*)=0,(A*)*=O,原式也成立.

解析:

26.设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.

令B=(β1,β2,…,βs),因为AB=O,所以B的列向量组β1,β2,…,βs为方程组

AX==0的一组解,而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r(A),所以向量组β1,β2,…,βs的秩不超过n-r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此r(B)≤n-r(A),即r(A)+r(B)≤n.

解析:

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