考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷1附答案解析

考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷1

选择题

1.设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是( ).(A)

A. r(A)=s

B. r(A)=m

C. r(B)=s

D. r(B)=n

解析:设r(A)=s,显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解.

反之,若ABX=0,因为r(A)=s,所以方程组AY=0只有零解,故BX=0,即方程组BX=0与方程组ABX=0同解,选A.

2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O,且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1,η2,则下列命题正确的是( ).(C)

A. AX=b的通解为k1,η1+k2η2

B. η1+η2为AX=b的解

C. 方程组AX=0的通解为k(η1-η2)

D. AX=b的通解为k1η1+k2η2解析:因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一,所以r(A)<n,又因为A*≠O,所以r(A)=n-1,η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系,选C.

3.设有方程组AX=0与BX=0,其中A,B都是m×n阶矩阵,下列四个命题:

(1)若AX=0的解都是BX=0的解,则r(A)≥r(B)

(2)若r(A)≥r(B),则AX=0的解都是BX=0的解

(3)若AX=0与BX=0同解,则r(A)=r(B)

(4)若r(A)=r(B),则AX=0与BX=0同解

正确的是( ).(B)

A. (1)(2)

B. (1)(3)

C. (2)(4)

D. (3)(4)

解析:若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解,则n-r(A)≤n-r(B),从而r(A)≥r(B),(1)为正确的命题;显然(2)不正确;因为同解方程组系数矩阵的秩相等,但反之不对,所以(3)是正确的,(4)是错误的,选B.

4.设A是m×n阶矩阵,B是n×m阶矩阵,则( ).(A)

A. 当m>n时,线性齐次方程组ABX=0有非零解

B. 当m>n时,线性齐次方程组ABX=0只有零解

C. 当n>m时,线性齐次方程组ABX=0有非零解

D. 当n>m时,线性齐次方程组ABX=0只有零解

解析:AB为m阶方阵,当m>n时,因为r(A)≤n,r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A),r(B)},所以r(AB)<m,于是方程组ABX=0有非零解,选A.

5.设A为m×n阶矩阵,则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( ).(D)

A. r(A)=m

B. r(A)=n

C. A为可逆矩阵

D. r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示

解析:方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示,在方程组 Ax=b有解的情形下,其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n,选D.

填空题

6.设η为非零向量,A=

3,k(-3,1,2)T

解析:AX=0有非零解,所以|A|=0,解得a=3,于是A=

A=

解答题

7.设向量组a1,a2,…,an-1为n维线性无关的列向量组,且与非零向量β1,β2正交.证明:β1,β2线性相关.

令A=[*],因为a1,a2,…,an-1与β1,β2正交,所以Aβ1=0,Aβ2=0,即β1,β2

为方程组AX=0的两个非零解,因为r(A)=n-1,所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量,所以β1,β2线性相关.

解析:

8.设齐次线性方程组

D=[*]=[a+(n-1)b](a-b)n-1

(1)当a≠b;a≠(1-n)b时,方程组只有零解;

(2)当a=b时,方程组的同解方程组为x1+x2+…xn=0,其通解为X=k1(-1,1,0,…,0)T+k2(-1,0,1,…,0)T+…+kn-1(-1,0,…,0,1)T(k1,k2,…,kn-1为任意常数);

(3)令A=[*],当a=(1-n)b时,r(A)=n-1,显然(1,1,…,1)T为方程组的一个解,故方程组的通解为k(1,1,…,1)T(k为任意常数).

解析:

9.设A为三阶矩阵,A的第一行元素为a,b,c且不全为零,又B=

由AB=0得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1.

(1)当k≠9时,因为r(B)=2,所以r(A)=1,方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关

的解向量,显然基础解系可取B的第1、3两列,故通解为k1[*]+k2[*]。

(k1,k2为任意常数);

(2)当k=9时,r(B)=1,1≤r(A)≤2,

当r(A)=2时,方程组AX=0的通解为C[*](C为任意常数);

当r(A)=1时,A的任意两行都成比例,不妨设a≠0,

由A→[*],得通解为k1[*]+k2[*],(k1,k2为任意常数).

解析:

10.a,b取何值时,方程组

[*],

(1)a≠1时,r(A)=r([*])=4,唯一解为x1=[*],x2=[*],x3=[*],x4=0;

(2)a=1,b≠-1时,r(A)≠r([*]),因此方程组无解;

(3)a=1,b=-1时,通解为X=k1(1,-2,1,0)T+k2(1,-2,0,1)T+(-1,1,0,0)T(k1,k2为任意常数).

解析:

11.A,B为n阶矩阵且r(A)+r(B)<n.证明:方程组AX=0与BX=0有公共的非零解.

方程组[*]或[*]

X=0的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解.

因为r[*]≤r(A)+r(B)<n,所以方程组[*]X=0有非零解,故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解.

解析:

设方程组(Ⅰ):a1,a2,a3,a4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解,其中a1,a2+a3,a4

12.求方程组(Ⅰ)的基础解系;

方程组(I)的基础解系为ξ1=[*],ξ2=[*];

解析:

13.求方程组(Ⅱ):BX=0的基础解系;

因为r(B)=2,所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量,

a4-a1=[*],a2+a3-2a1=[*]为方程组(Ⅱ)的基础解系;

解析:

14.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解.

方程组(Ⅰ)的通解为k1ξ1+k2ξ2=[*],方程组(Ⅱ)的通解为[*],

令[*],则有[*]-k2=2k2,取k2=k,则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1,1,1,1)T(其中k为任意常数).

解析:

15.(Ⅰ):(Ⅱ):

方法一

[*](Ⅱ)的通解为k[*](k为任意常数),把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ),得[*]

方法二 因为(Ⅰ),(Ⅱ)同解,所以它们的增广矩阵有等价的行向量组,(Ⅱ)的增广矩阵

为阶梯阵,其行向量组线性无关,

[*]

a1可由β1,β2,β3唯一线性表出,a1=-2β1+β2+aβ3[*]a=-1,

a2可由β1,β2,β3唯一线性表出,a2=β1+β2-β3[*]=-2,

a3可由β1,β2,β3唯一线性表出,a3=3β1+β2+β3[*]c=4.

解析:

16.证明:线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)

令A=[*]=(a1,a2,…,an),b=[*],X=[*],Y=[*],

方程组(Ⅰ)可写为AX=b,方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY=0及Y=0.

若方程组(Ⅰ)有解,则r(A)=r(A[*]b),从而r(AT)=r[*],又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解,所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解;

反之,若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解,则r(AT)=r[*],从而r(A)=r(A[*]b),故方程组(Ⅰ)有解.

解析:

17.设(Ⅰ)的一个基础解系为,写出(Ⅱ)

令A=[*],X=[*],则(Ⅰ)可写为AX=0,

令B=[*],Y=[*],

其中β1=[*],β2=[*],…,βn=[*],

则(Ⅱ)可写为BY=0,因为β1,β2,…,βn为(Ⅰ)的基础解系,因此r(A)=n,β1,β2,…,βn

线性无关,Aβn=Aβn=…=Aβn=0[*]A(β1,β2,…,βn)=O[*]ABT=O[*]BAT=O.则a1T,a2T,…,anT为BY=0的一组解,而r(B)=n,且a1T,a2T,…,anT线性无关,

因此a1T,a2T,…,anT为BY=0的一个基础解系.

解析:

18.设A是m×s阶矩阵,B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.

首先,方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解.令r(B)=r且ξ1,ξ2,…,

ξn-r是方程组BX=0的基础解系,现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解,即Bη0≠0,显然ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0线性无关,若ξ1,ξ2,…,ξn-r,…,η0线性相关,则

存在不全为零的常数k1,k2,…,kn-r,k0使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0η0=0,若k0=0,则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0,因为ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关,所以k1=k2…=kn-r=0,从而ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0线性无关,所以k0≠0,故η0可由ξ1,ξ2,…,ξn-r线性表示,由齐次线性方程组解的结构,有Bη0=0,矛盾,所以ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0线性无关,且为方程组ABX=0的解,从而n-r(AB)≥n-r+1,r(AB)≤r-1,这与r(B)=r(AB)矛盾,故方程组BX=0与ABX=0同解.

解析:

设A,B,C,D都是n阶矩阵,r(CA+DB)=n.

19.证明:r(

因为n=r(CA+DB)=r((C D)([*]))≤n,所以r[*]=n;

解析:

20.设ξ1,ξ2,…,ξr与η1,η2,…,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系,证明: ξ1,ξ2,…,ξr,η1,η2,…,ηs线性无关.

因为r[*]=n,所以方程组[*]X=0只有零解,从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解,故ξ1,ξ2,…,ξr与η1,η2,…,ηs线性无关.

解析:

设A是n阶矩阵,a1,a2,…,an是n维列向量,且an≠0,若Aa1=a2,Aa2=a3,…,Aan-1=an,Aan=0.

21.证明:a1,a2,…,an线性无关;

令x1a1+x2a2+…+xnan=0,则

x1Aa1+x2Aa2+…+xnAan=0[*]x1a2+x2a3+…+xn-1an=0,x1Aa2+x2Aa3+…+xn-1Aan=0[*]x1a3+x2a4+…+xn-2an=0,

[*]

x1an=0,

因为an≠0,所以x1=0,反推可得x2=…=xn=0,所以a1,a2,…,an线性无关.

解析:

22.求A的特征值与特征向量.

A(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an)[*],令P=(a1,a2,…,an),

则P-1AP=[*]=B,则A与B相似,由|λE|-B|=0[*]λ1=…=λn=0,

即A的特征值全为零,又r(A)=n-1,所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,而Aan=Oan(an≠0),所以A的全部特征向量为kan(k≠0).

解析:

23.设A为三阶方阵,A的每行元素之和为5,AX=0的通解为k1,设β=

因为A的每行元素之和为5,所以有A[*]=5[*],即A有一个特征值为λ1=5,其对

应的特征向量为ξ1=[*],Aξ1=5ξ1

又AX=0的通解为k1[*]+k2=[*],则r(A)=1[*]λ2=λ3=0,其对应的特征向量为ξ2=[*],ξ3=[*],Aξ2=0,Aξ3=0.

令x1ξ1+x2ξ2+ x3ξ3=β,解得x2=8,x2=-1,x3=-2,

则Aβ=8Aξ1-Aξ2-2Aξ3=8Aξ1=40

解析:

24.A=~B=

由|λE-B|=0,得λ1=-1,λ2=1,λ3=2,因为A~B,所以A的特征值为λ1=-1,

λ2=1,λ3=2.

由tr(A)=λ1+λ2+λ3,得a=1,再由|A|=b=λ1λ2λ3=-2,得b=-2,

即A=[*].

由(-E-A)X=0,得ξ1=(1,1,0)T

由(E-A)X=0,得ξ2=(-2,1,1)T

由(2E-A)X=0,得ξ3=(-2,1,0)T

令P1=[*],则P-1AP1=[*].

由(-E-B)X=0,得η1=(-1,0,1)T

由(E-B)X=0,得η2=(1,0,0)T

由(2E-B)X=0,得η3=(8,3,4)T

令P2=[*],则P-12BP2=[*].

由P-11AP1=P-12BP2,得(P1P-12)-1AP1P-12=B,

令P=P1P-12=[*],则P-1AP=B.

解析:

25.设A=

|λE-A|=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0,得矩阵A的特征值为λ1=1-a,λ2=a,λ3=1+a.

(1)当1-a≠a,1-a≠1+a,a≠1+a,即a≠0且a≠[*]时,因为矩阵A有三个不

同的特征值,所以A一定可以对角化.

λ1=1-a时,由[(1-a)E-A]X=0得ξ1=[*];

λ2=a时,由(aE-A)X=0得ξ2=[*];

λ3=1+a时,由[(1+a)E-A]X=0得ξ3=[*].

令P=[*],得P-1AP=[*].

(2)当a=0时,λ1=λ3=1,

因为r(E-A)=2,所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,

故矩阵A不可以对角化.

(3)当a=[*]时,λ1=λ2=[*],

因为r([*]E-A)=2,所以方程组([*]E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,故A不可以对角化.

解析:

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