考研数学三(多元函数微分学与重积分)模拟试卷1附答案解析

考研数学三(多元函数微分学与重积分)模拟试卷1

选择题

1.累次积分(D)

A. B. C. D. 解析:积分所对应的直角坐标平面的区域为D:0≤x≤1,0≤y≤

填空题

2.设u=u(x,y)二阶连续可偏导,且

[*]

解析:u(x,3x)=x两边对x求导,得u’x(x,3x)+3u’y(x,3x)=1,

再对x求导,得u”xx(x,3x)+6u”xy(x,3x)+9u”yy(x,3x)=0.

,得10u”xx(x,3x)+6u”xy(x,3x)=0,

u’x(x,3x)=x3两边对x求导,得u”xx(x,3x)+3u”xy(x,3x)=3x2

解得u”xy(x,3x)=

3.设(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分,则a=_____________,b=_____________.

a=4,b=-2

解析:令P(x,y)=ay-2xy2, Q(x,y)=bx2y+4x+3,

因为(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分,

所以=2bxy+4=

4.设f(u )连续,则

-xf(x2-1)

解析:vf(u2-v2)dv=-f(u2-v2)d(u2-v2)=-f(t)dt,

vf(u2-v2)dv=-f(t)dt=-f(t)dt,

5.设f(x)=dt,则

[*]sintdt=2

解析:f(x)dx=dxdt=dtdx=

6.设f(x)连续,则

[*]

解析:tf(r2-t2)dt=-f(r2-t2)d(r2-t2)=f(u)du,

cos(x+y)dσ=πr2cos(ξ+η),

原式=

7.设f(x,y)在区域D:x2+y2≤t2上连续且f(0,0)=4,则

解析:由t-ln(1+t)=t-[t-+o(t2)]~t2(t→0),

再由积分中值定理得f(x,y)dxdy=f(ξ,η).πt2,其中(ξ,η)∈D,

于是=2π

解答题

8.设z=z(x,y)满足x2+y2=z2,令,φ(u,v)=证明:

由[*]则

[*]

解析:

9.求z=x2+12xy+2y2在区域4x2+y2≤25上的最值.

当4x2+y2<25时。由[*]得驻点为(x,y)=(0,0).

当4x2+y2=25时,令F=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2-25),

由[*]得(x,y)=(±2,[*]3),(±[*],±4).

因为z(0,0)=0,z(±2,[*]3)=-50,z(土[*],±4)=106[*],所以目标函数的最大值和最小值分别为106[*]和-50.

解析:

10.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售,售价分别为P1,P2,销售量分别为q1,q2,需求函数分别为q1=24—0.2p1,q2=10-0.05p2,总成本函数为C=35+40(q1+q2),问厂家如何确定两个市场的销售价格,能使其获得总利润最大?最大利润为多少?

p1=120-5q1,p2=200-20q2,收入函数为R=p1q1+p2q2

总利润函数为L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-[35+40(q1+q2)],

由[*]得q1=8,q2=4,从而p1=80,p2=120,L(8,4)=605,

由实际问题的意义知,当P1=80,P2=120时,厂家获得的利润最大,最大利润为605.

解析:

11.设二元函数f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)处的某邻域内连续.证明:函数f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是φ(0,0)=0.

(必要性)设f(x,y)在点(0,0)处可微,则f’x(0,0),f’y(0,0)存在.

因为f’x(0,0)=[*].

且[*]=φ(0,0),[*]=-φ’(0,O),所以φ(0,0)=0.

(充分性)若φ(0,0)=0,则f’x(0,0)=0,f’y(0,0)=0.

因为[*]

又[*]≤2,

所以[*]=0,即f(x,y)在点(0,0)处可微.

解析:

12.已知二元函数f(x,y)满足()2+()2=4,作变换,且f(x,y)=g(u,v),若a()2-b(

[*]

又[*]=4,所以有(a+b)(v2-u2)([*])2+2uv(a+b)[*]+4(au2-bv2)=u2+v2

于是[*],故a=[*],b=-[*].

解析:

13.计算

令[*](0≤Θ≤[*],0≤r≤[*]),则

[*]

解析:

14.已知f(x,y)=设D为由x=0、y=0及x+y=t所围成的区域,求F(t)=

当t<0时,F(t)=0;

当0≤t<1时,F(t)=[*]1dxdy=[*]t2

当1≤t<2时,F(t)=[*]f(x,y)dxdy=1-[*](2-t)2

当t≥2时,F(t)=1,

解析:

15.设f(x)连续,且f(0)=1,令F(t)=

由F(f)=[*]rf(r2)dr=2兀[*]rf(r2)dr=π[*]f(u)du,

得F’(t)=2πtf(t2),F’(0)=0,

F”(0)=[*]=2πf(0)=2π.

解析:

16.计算二重积分I=

I=[*],其中D={(x,y)|0≤x≤1,-z≤y≤[*]-1},

令[*]则D={(r,t)|-[*]≤t≤0,0≤r≤-2sint},

于是I=[*].

解析:

17.计算

[*](x2+y2dxdy=[*](x2+y2dxdy-[*](x2+y2)dxdy

而[*](x2+y2)dxdy=[*]r3dr=8[*]cos4ΘdΘ=[*],所以[*](x2+y2)dxdy=[*].

解析:

18.计算

D={(x,y)|x2+y2≤2x+2y-1)可化为D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1),

令[*](0≤t≤2π,0≤r≤1),

则[*](x+y2)dxdy=[*](1+rcost+1+2rsint+r2sin2t)rdr

=[*](1+[*]sin2t)dt=2π+[*]sin2tdt=2π+[*].

解析:

19.设f(x,y)=且D={(x,y)|x2+y2≥2x},求

令D1={(x,y)|1≤x≤2,[*]≤y≤x},

则[*]f(x,y)dxdy=[*]x2ydxdy=[*]x2dx[*]ydy=[*](x4-x3)dx=[*].

解析:

20.计算I=

令D1={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤x2},D2={(x,y)|-1≤x≤1,x2≤y≤2},

则I[*]

解析:

21.计算

令[*]=2(x2+y2),解得x2+y2=[*],

则[*]min{[*],2(x2+y2)}dxdy

=[*]2(x2+y2)dxdy+[*]dxdy

=2[*].

解析:

22.计算I=xydxdy,其中D由y=-x,y=及y=

将D分成两部分D1,D2,其中D1={(x,y)|0≤x≤1,[*]≤y≤[*]},

D2={(x,y)|-[*]≤x≤0,-x≤y≤[*]},

则I=[*]xdx[*]ydy+[*]xdx[*]ydy

=[*]x(1-x)dx+[*]x(1-2x2)dx=[*].

解析:

23.计算I=(x2+y2)dy+

令[*]则I=[*].

解析:

24.计算

令[*](0≤Θ≤[*],0≤r≤1),则[*]dxdy

=[*],

令[*]=u2,则t=[*],dt=[*]du,

原式=[*]du=π[*]du=π[*]du

=π[*]du-π[*]du=[*]-π[*]du.

因为[*]du=[*]·sec2ΘdΘ=[*]cos2ΘdΘ=[*](1+cos2Θ)dΘ

=[*](1+cos2Θ)dΘ=[*],

所以原式=[*].

解析:

25.计算二重积分

根据对称性,[*](x2+4x+y2)dxdy=4[*](x2+y2)dxdy,其中D1是D位于第一象限的区域.

令[*](0≤Θ≤[*],0≤r≤a[*]),

则[*](x2+y2)dxdy=[*]r3dr=[*]cos2Θd(2Θ)=[*],

故[*](x2+4x+y2)dxdy=[*].

解析:

26.设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上,问R取何值时,球面S在定球面内的面积最大?

设球面S:x2+y2+(z-a)2=R2

由[*]得球面S在定球内的部分在xOy面上的投影区域为

Dxy:x2+y2≤[*](4a2-R2),

球面S在定球内的方程为S:z=a-[*],

dS=[*]dxdy,所求面积为S(R)=[*]dxdy=2πR2-[*]R3

令S’(R)=4πR-[*]R2=0,得R=[*],

因为S”([*])=-4π<0,所以当R=[*]时球面S在定球内的面积最大.

解析:

27.设f(x)在[a,b]上连续,证明:f(x)dxf(y)dy=[

F(x)=[*]f(t)dt,

则[*]f(x)dx[*]f(y)dy=[*]f(x)[F(b)-F(x)]dx

=F(b)[*]f(x)dx-[*]f(x)F(x)dx=F2(b)-[*]F(x)dF(x)

=F2(b)-[*]F2(x)[*]F2(b)=[*][[*]f(x)dx]2

解析:

28.设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)

因为f(x,y)在D上连续,所以f(x,y)在D上取到最大值M和最小值m,故

m≤f(x,y)≤M,又由g(x,y)≥0得mg(x,Y)≤f(x,y)g(x,Y)≤Mg(x,y),

积分得

m[*]g(x,y)dσ≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ≤M[*]g(x,y)dσ.

(1)当[*]g(x,y)dσ=0时,[*]f(x,y)g(x,y)dσ=0,则对任意的(ξ,η)∈D,有

[*]f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)[*]g(x,y)dσ,

(2)当[*]g(x,y)dσ>0时,

由m[*]g(x,y)dσ≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ≤M[*]g(x,y)dσ,得

m≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ/[*]g(x,y)dσ≤M,

由介值定理,存在(ξ,η)∈D,使得

f(ξ,η)=[*],

即[*]f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)[*]g(x,y)dσ.

解析:

29.设函数f(x)∈C[a,b],且f(x)>0,D为区域a≤x≤b,a≤y≤b.证明

因为积分区域关于直线y=x对称,

所以[*]dxdy=[*]dxdy,于是[*]dxdy=[*]dxdy.

又因为f(x)>0,所以[*]≥2,从而

[*]dxdy=[*]dxdy≥[*]dxdy=(b-a)2

解析:

30.设f(x)为连续函数,计算x[

设f(x)的一个原函数为F(x),则

[*]x[[*]+yf(x2+y2)]dxdy

=[*]xdx[*][[*]+yf(x2+y2)]dy

=[*]xdx[*]dy+[*]xdx[*]yf(x2+y2)dy

=[*](1-x3)dx+[*]xdx[*]f(x2+y2)d(x2+y2)=-[*]x4[*]dx+[*][F(x2+1)-F(x2+x6)dx

=-2[*]x4[*]dx[*]sin4tcos2tdt=-2(I4-I6)=-[*].

解析:

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