考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2附答案解析

考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2

选择题

1.设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为a1,a2,a3,令P=(3a2,-a3,2a1),则P-1AP等于( ).(C)

A. B. C. D. 解析:显然3a1,-a3,2a1也是特征值1,2,-1的特征向量,所以P-1AP=

2.设A,B为n阶矩阵,且A,B的特征值相同,则( ).(D)

A. A,B相似于同一个对角矩阵

B. 存在正交阵Q,使得QTAQ=B

C. r(A)=r(B)

D. 以上都不对

解析:令A=,B=

填空题

3.设A=

-2

解析:因为|A*|=|A|2=4,且|A|>0,所以|A|=2,又AA*=|A|E=2E,

所以A-1A*,从而A-1的特征值为-

4.设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=-,λ3

[*]

解析:P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E,

而P-1A-1P=,所以P-1(A-1+2E)P=

5.设λ1,λ2,λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值,a1,a2,a3分别是属于特征值λ1,λ2,λ3的特征向量,若a1,A(a1+a2),A2(a1+a2+a3)线性无关,则λ1,λ2,λ3满足_____________.

≠0

解析:令x1a1+x2A(a1+a2)+x3A2(a1+a2+a3)=0,即(x1+λ1x2+λ21x3)a1+(λ2x2+λ22x3)a2+λ23x3a3=0,则有 x1+λ1x2+λ21x3=0,λ2x2+λ22x3=0,λ23x3=0,因为x1,x2,x3只能全为零,所以≠0

解答题

设A=

6.a及可逆矩阵P,使得P-1AP=A,其中A为对角矩阵;

|λE-A|=0[*]λ1=λ2=1,λ3=-1.

因为A相似于对角阵,所以r(E-A)=1[*]a=-2[*]A=[*].

(E-A)X=0基础解系为ξ1=(0,1,0)T,ξ2=(1,0,1)T,(-E-A)X=0基础解系为

ξ3=(1,2,-1)T,令P=(ξ1,ξ2,ξ3),则P-1AP=diag(1,1,-1).

解析:

7.A100

P-1A100P=[*]A100=PP-1=E.

解析:

设A=,β=

8.求a;

因为方程组AX=β有解但不唯一,所以|A|=0,从而a=-2或a=1.

当a=-2时,[*],r(A)=r([*])=2<3,方程组有无穷多解;

当a=1时,[*],r(A)=1<r([*]),方程组无解,故a=-2.

解析:

9.求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵;

由|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0,λ2=3,λ3=-3.

由(0E-A)X=0得λ1=0对应的线性无关的特征向量为ξ1=[*];

由(3E-A)X=0得λ2=3对应的线性无关的特征向量为ξ2=[*];

由(-3E-A)X=0得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为ξ3=[*].令P=[*],则P-1AP=[*].

解析:

10.求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.

令γ1=[*],γ2=[*],γ3=[*],取Q=[*],

则QTAQ=[*].

解析:

设矩阵A=

11.若A有一个特征值为3,求a;

|λE-A|=(λ2-1)[λ2-(a+2)λ+2a-1],

把λ=3代入上式得a=2,于是A=[*],A2=[*].

解析:

12.求可逆矩阵P,使得PTA2P为对角矩阵.

由|λE-A2|=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ2=1,λ4=9.

当λ1时,由(E-A2)X=0得a1=(1,0,0,0)2T,a2=(0,l,0,0)T,a3=(0,0,-1,1)T

当λ=9时,由(9E-A2)X=0得a4=(0,0,1,1)T

将a1,a2,a3正交规范化得β1=(1,0,0,0)T2=(0,1,0,0)T,β3=(0,0,[*])T

将a4规范化得β4=(0,0,[*])T

令P=(β1,β2,β3,β4)=[*],则PTA2P=[*].

解析:

设矩阵A=可逆,a=

13.求a,b及a对应的A*的特征值;

显然a也是矩阵A的特征向量,令Aa=λ1a,则有[*],

解得[*],所以A=[*],

|A|=12,设A的另外两个特征值为λ2,λ3,由[*]得λ2=λ3=2.

a对应的A*的特征值为[*]=4.

解析:

14.判断A可否对角化.

2E-A=[*],因为r(2E-A)=2,所以λ2=λ3=2只有一个线性无关的特征向量,故A不可以对角化.

解析:

设A为三阶矩阵,ξ1,ξ2,ξ3是三维线性无关的列向量,且Aξ1=-ξ1+2ξ2+2ξ3,Aξ2=2ξ1-ξ2-2ξ3,Aξ3=2ξ1-2ξ2-ξ3

15.求矩阵A的全部特征值;

A(ξ1,ξ2,ξ3)=(ξ1,ξ2,ξ3)[*],

因为ξ1,ξ2,ξ3线性无关,所以

1,ξ2,ξ3)可逆,故A~[*]=B.

由|λE-A|=|λE-B|=(λ+5)(λ-1)2=0,得A的特征值为-5,1,1.

解析:

16.求|A*+2E|.

因为|A|=-5,所以A*的特征值为1,-5,-5,故A*+2E的特征值为3,-3,-3.从而|A*+2E|=27.

解析:

17.设A为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5,32. 求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化.

设A的三个特征值为λ1,λ2,λ3,因为B=(A*)2-4E的三个特征值为0,5,32,所以

(A*)@的三个特征值为4,9,36,于是A*的三个特征值为2,3,6.

又因为|A*|=36=|A|3-1,所以|A|=6.

由[*]=2,[*]=3,[*]=6,得λ1=3,λ2=2,λ3=1,

由于一对逆矩阵的特征值互为倒数,所以A-1的特征值为1,[*].

因为A-1的特征值都是单值,所以A-1可以相似对角化.

解析:

设A=的一个特征值为λ1=2,其对应的特征向量为ξ1

18.求常数a,b,c;

由Aξ1=2ξ1,得[*]

解得[*]

解析:

19.判断A是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.若不可对角化,说明理由.

由|λE-A|=[*]=0,得λ1=λ2=2,λ3=-1.

由(2E-A)X=0,得a1=[*],a2=[*],

由(-E-A)X=0,得a3=[*],

显然A可对角化,令P=[*],则P-1AP=[*].

解析:

设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量.

20.证明:a,Aa线性无关;

a,Aa线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,使得k1a+k2Aa=0,显然k2≠0,所以Aa=-[*]a,与已知矛盾,所以a,Aa线性无关.

解析:

21.若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;

由A2a+Aa-6a=0,得(A2+A-6E)a=0,

因为a≠0,所以r(A2+A-6E)<2,从而|A2+A-6E|=0,即|3E+A|·|2E-A|=0,则|3E+A|=0或|2E-A|=0.

若|3E+A|≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E-A)a=0,得(2E-A)a=0,即Aa=2a,矛盾;

若|2E-A|≠0,则2E-A可逆,由(2E-A)(3E+A)a=0,得(3E+A)a=0,即Aa=-3a,矛盾,所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0,于是二阶矩阵A有两个特征值-3,2,故A可对角化.

解析:

设A是三阶矩阵,a1,a2,a3为3个三维线性无关的列向量,且满足Aa1=a2+a3,Aa2=a1+a3,Aa3=a1+a2

22.求矩阵A的特征值;

因为a1,a2,a3线性无关,所以a1+a2+a3≠0,

由A(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3),得A的一个特征值为λ1=2;

又由A(a1-a2)=-(a1-a2),A(a2-a3)=-(a2-a3),得A的另一个特征值为λ2=-1.

因为a1,a2,a3线性无关,所以a1-a2与a2-a3也线性无关,所以λ2=-1为矩阵A的二重特征值,即A的特征值为2,-1,-1.

解析:

23.判断矩阵A可否对角化.

因为a1-a2,a2-a3为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量,所以A一定可以对角化.

解析:

资源下载《考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2附答案解析.doc》 文档仅限注册用户下载,请先
将本套试题Word文档或文章下载到电脑,方便收藏和打印
资源下载
《考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2附答案解析.doc》
试题含答案和解析word文档下载价格:免费
将本套试题Word文档或文章下载到电脑,方便收藏和打印
0

评论0

没有账号? 注册  忘记密码?